3. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$ и $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения…$ Фото задания

3. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$ и $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Обозначим $\overrightarrow{BA}=\vec u$, $\overrightarrow{BC}=\vec v$. Возьмём точку $B$ за начало отсчёта. Тогда $A=\vec u$, $C=\vec v$, а из свойства параллелограмма $D=\vec u+\vec v$.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O=\dfrac{\vec u+\vec v}{2}$, откуда $\overrightarrow{BO}=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v$.

Так как $P$ — середина $CD$, имеем $P=\dfrac{C+D}{2}=\vec v+\dfrac12\vec u$. Следовательно, $\overrightarrow{BP}=\dfrac12\vec u+\vec v$.

Наконец, $\overrightarrow{PA}=A-P=\vec u-(\vec v+\dfrac12\vec u)=\dfrac12\vec u-\vec v$.

Ответ: $\overrightarrow{BO}=\dfrac12\overrightarrow{BA}+\dfrac12\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BP}=\dfrac12\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{PA}=\dfrac12\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.