3. Начертите пять прямых так, чтобы они пересекались ровно: а) в шести; б) в семи; в) в восьми точках.

Для пяти прямых число точек пересечения можно получить, размещая несколько прямых через одну общую точку, а остальные пересечения делая различными.

а) Для 6 точек: четыре прямые провести через одну общую точку, а пятую — так, чтобы она пересекла каждую из них в четырёх новых точках. Всего \(1+4=5\), поэтому ещё одну из четырёх прямых расположить так, чтобы она пересекла пятую прямую в отдельной точке. Получится 6 точек.

б) Для 7 точек: три прямые провести через одну точку, две другие — в общем положении. Первая группа даёт 1 точку, две остальные пересекают три первые в шести точках, а между собой — ещё одну; часть пересечений можно совместить так, чтобы всего получилось 7 различных точек.

в) Для 8 точек: провести три прямые через одну общую точку, а две остальные — так, чтобы все остальные пересечения были различными. Тогда получаем \(1+3+3+1=8\) точек.

Ответ: требуемые чертежи строятся подбором общих и отдельных точек пересечения; для каждого случая число различных точек равно соответственно 6, 7 и 8.