3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28° и 90°. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений? На чертеже показаны три схемы: 1) прямые AOC и BOD пересекаются в O, ∠BOC = 28°, ∠AOD = 90°; 2) прямая MOD пересекается с прямой через O, луч OB перпендикулярен лучу OD, ∠COD = 28°; 3) две диагональные прямые и вертикальная с горизонтальной прямые, пересекающиеся в отмеченных точках; отмечены угол 90° и угол 28°. Обозначение второго угла 90° на схеме 1 соответствует прямому углу между лучами OA и OD.

Смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные углы равны.

1) На схеме одновременно указано, что ∠BOC = 28° и ∠AOD = 90°. Так как ∠BOC и ∠AOD — вертикальные, они должны быть равны. Эти отметки противоречат друг другу, поэтому схема 1 в данном виде не задаёт согласованной системы углов; определить все углы невозможно. Вероятно, одна из двух числовых отметок распознана или нанесена неверно.

2) OB ⟂ OD, следовательно, ∠BOD = 90°. Так как ∠COD = 28°, то ∠BOC = 90° − 28° = 62°. На прямой MOD смежные углы дают:

∠MOB = 180° − 90° = 90°; ∠AOM = 180° − ∠AOD, где ∠AOD = ∠BOC = 62°, поэтому ∠AOM = 118°. Вертикальные пары: ∠MOB = ∠AOD = 90°; ∠AOM = ∠BOD = 90° — это невозможно вместе с ∠AOD = 62°.

На схеме 2 подписи и лучи на фото не позволяют однозначно определить все отношения между прямыми и углами: в частности, обозначения прямого угла и лучей конфликтуют с указанным расположением. Поэтому полный набор величин для этой схемы нельзя надёжно восстановить по изображению.

3) Вертикальная и горизонтальная прямые перпендикулярны, значит, каждый из четырёх образованных ими углов равен 90°. Диагональ пересекает горизонтальную прямую под углом 28°, поэтому вертикальный ему угол также равен 28°, а два смежных угла равны 180° − 28° = 152°. Диагональ образует с вертикалью углы 90° − 28° = 62° и 180° − 62° = 118°; вертикальные углы при этом пересечении равны.

Следовательно, величины определяются без измерений там, где отношения лучей и прямых на рисунке читаются однозначно. Для схемы 1 требуются исправленные отметки, а для схемы 2 — более чёткое изображение.