3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на все нечетные числа от 1 до 15 включительно.

Решение:

Нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) всех нечетных чисел от 1 до 15. Нечетные числа в этом диапазоне: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

1. Разложим каждое число на простые множители:
• \( 1 \)
• \( 3 \)
• \( 5 \)
• \( 7 \)
• \( 9 = 3^2 \)
• \( 11 \)
• \( 13 \)
• \( 15 = 3 × 5 \)
2. Чтобы найти НОК, возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
• Простые множители: 3, 5, 7, 11, 13.
• Наибольшие степени: \( 3^2 \) (из числа 9), \( 5^1 \) (из чисел 5 и 15), \( 7^1 \) (из числа 7), \( 11^1 \) (из числа 11), \( 13^1 \) (из числа 13).
• \( \text{НОК} = 3^2 × 5 × 7 × 11 × 13 \)
• \( \text{НОК} = 9 × 5 × 7 × 11 × 13 \)
• \( \text{НОК} = 45 × 7 × 11 × 13 \)
• \( \text{НОК} = 315 × 11 × 13 \)
• \( \text{НОК} = 3465 × 13 \)
• \( \text{НОК} = 45045 \)

Ответ: 45045.