№3. Найдите область определения функции: y = log₂(x-x²)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

В данном случае аргументом является \( x - x^2 \). Следовательно, нам нужно решить неравенство:

\[ x - x^2 > 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(1 - x) > 0 \]

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения \( x(1 - x) = 0 \):

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Парабола \( y = x(1 - x) = -x^2 + x \) имеет ветви, направленные вниз. Неравенство \( x(1 - x) > 0 \) выполняется между корнями.

Таким образом, область определения функции:

\[ 0 < x < 1 \]

Ответ: \( (0, 1) \)