3. Найдите общее решение дифференциального уравнения (xy + y) dx = dy

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его:

\[ y(x+1) dx = dy \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x+1} \]

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x+1} \]

\[ \ln|y| = \ln|x+1| + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

Выразим \( y \):

\[ \ln|y| = \ln|x+1| + \ln|e^C| \]

\[ \ln|y| = \ln(|x+1| · e^C) \]

\[ y = k(x+1) \]

где \( k = ± e^C \) — произвольная ненулевая постоянная.

Ответ: \( y = k(x+1) \).