№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(x+1)², прямыми x=−2 и x=1 и осью Ox; б) графиком функции y=4/x при x>0, параболой y=−x²+4x+1.

а)

На отрезке \([-2;1]\) парабола расположена выше оси \(Ox\), поэтому

\[S=\int_{-2}^{1}(x+1)^2\,dx=\frac{(x+1)^3}{3}\Big|_{-2}^{1}.\]

\[S=\frac{2^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}=\frac{8+1}{3}=3.\]

б)

Найдём точки пересечения графиков:

\[\frac{4}{x}=-x^2+4x+1,\qquad x>0.\]

После умножения на \(x\):

\[4=-x^3+4x^2+x,\]

\[x^3-4x^2-x+4=0,\]

\[(x-1)(x-4)(x+1)=0.\]

При \(x>0\) получаем точки с абсциссами \(x=1\) и \(x=4\). На отрезке \([1;4]\) парабола расположена выше гиперболы:

\[S=\int_1^4\left(-x^2+4x+1-\frac{4}{x}\right)dx.\]

\[S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2+x-4\ln x\right)\Big|_1^4.\]

\[S=\left(\frac{44}{3}-4\ln4\right)-\frac{8}{3}=12-4\ln4=12-8\ln2.\]

Ответ: а) \(3\); б) \(12-8\ln2\) квадратных единиц.