3. Найдите производную функции: 1) e^x sin x; 2) ln x; 3) y = (5 - 3x)^7

Решение:

1. 1) Производная функции $$y = e^x \sin x$$

Используем правило произведения: $$(uv)' = u'v + uv'$$

Пусть $$u = e^x$$, тогда $$u' = e^x$$.

Пусть $$v = \sin x$$, тогда $$v' = \cos x$$.

\[ y' = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' \]

\[ y' = e^x \sin x + e^x \cos x \]

\[ y' = e^x (\sin x + \cos x) \]

2. 2) Производная функции $$y = \ln x$$

Это известная производная:

\[ y' = \frac{1}{x} \]

3. 3) Производная функции $$y = (5 - 3x)^7$$

Используем правило производной сложной функции: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Пусть внешняя функция $$f(u) = u^7$$, тогда $$f'(u) = 7u^6$$.

Пусть внутренняя функция $$g(x) = 5 - 3x$$, тогда $$g'(x) = -3$$.

\[ y' = 7(5 - 3x)^6 \cdot (-3) \]

\[ y' = -21(5 - 3x)^6 \]

Ответ:

• 1) $$e^x (\sin x + \cos x)$$
• 2) $$\frac{1}{x}$$
• 3) $$-21(5 - 3x)^6$$