4. Найдите значение производной функции $$y = f(x)$$ в точке $$x_0$$, если $$f(x) = \frac{1-x}{x^2+8}$$

Решение:

1. Находим производную функции $$f(x) = \frac{1-x}{x^2+8}$$

Используем правило производной частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Пусть $$u = 1-x$$, тогда $$u' = -1$$.

Пусть $$v = x^2+8$$, тогда $$v' = 2x$$.

\[ f'(x) = \frac{(-1)(x^2+8) - (1-x)(2x)}{(x^2+8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - (2x - 2x^2)}{(x^2+8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} \]

2. Найдем значение производной в точке $$x_0$$. В задании не указана конкретная точка $$x_0$$. Предполагая, что точка $$x_0$$ - это одна из точек, указанных на графике в задании №9 (где $$x_0=1$$ или $$x_0=0$$), или это просто общий случай, где нужно подставить $$x_0$$.

Если предположить, что $$x_0 = 1$$ (исходя из графика №9, где касательная проведена примерно в этой точке):

\[ f'(1) = \frac{1^2 - 2(1) - 8}{(1^2+8)^2} = \frac{1 - 2 - 8}{(1+8)^2} = \frac{-9}{9^2} = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9} \]

Если предположить, что $$x_0 = 0$$ (также возможно, исходя из графика №9, где одна из точек лежит на оси Y):

\[ f'(0) = \frac{0^2 - 2(0) - 8}{(0^2+8)^2} = \frac{-8}{8^2} = \frac{-8}{64} = -\frac{1}{8} \]

Если $$x_0$$ - это любая точка, то ответ будет выражением:

\[ f'(x_0) = \frac{x_0^2 - 2x_0 - 8}{(x_0^2+8)^2} \]

В задании №8 указано $$x_0 = 1/4$$. Проверим это значение:

\[ f'(1/4) = \frac{(1/4)^2 - 2(1/4) - 8}{((1/4)^2+8)^2} = \frac{1/16 - 1/2 - 8}{(1/16+8)^2} = \frac{1/16 - 8/16 - 128/16}{(1/16+128/16)^2} = \frac{-135/16}{(129/16)^2} = \frac{-135/16}{16641/256} = \frac{-135}{16} \cdot \frac{256}{16641} = -135 \cdot \frac{16}{16641} \]

В задании №5 указано $$x_0 = -2$$. Проверим это значение:

\[ f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 8}{((-2)^2+8)^2} = \frac{4 + 4 - 8}{(4+8)^2} = \frac{0}{12^2} = 0 \]

Учитывая, что задание №8 находит точки, где касательная параллельна оси абсцисс, это значит $$f'(x) = 0$$. И это значение $$x_0 = -2$$ (или $$x_0=4$$, если решить квадратное уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 0$$).

По контексту задания №4, которое идет перед №5, где $$x_0 = -2$$, вероятно, что $$x_0 = -2$$.

2. Подставляем $$x_0 = -2$$ в производную:

\[ f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 8}{((-2)^2+8)^2} = \frac{4 + 4 - 8}{(4+8)^2} = \frac{0}{12^2} = 0 \]

Ответ: 0