3. Найдите расстояние от деревни Николаевка до Станции Путятино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение:

На схеме отмечены точки:

• 1 — Николаевка
• 2 — Лесная
• 3 — Ковылкино
• 4 — Путятино

Расстояние по шоссе от Николаевки до Лесной: \( d(1, 2) = 60 \text{ км} \).

Расстояние по шоссе от Лесной до Путятино: \( d(2, 4) = 45 \text{ км} \).

Путь по прямой от Николаевки до Путятино не указан явно на схеме, но подразумевается, что точки 1, 2, 4 образуют прямоугольный треугольник, если поворот под прямым углом происходит в точке 2 (Лесная). Однако, в условии задачи сказано, что есть "более длинный путь по шоссе [...] до деревни Лесная, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Путятино." Это значит, что из Николаевки в Путятино есть прямой путь (обозначенный пунктиром на схеме).

Используя теорему Пифагора для треугольника с вершинами Николаевка (1), Лесная (2), Путятино (4), где угол в Лесной (2) прямой, мы можем найти расстояние по прямой от Николаевки до Путятино:

\( d(1,4)^2 = d(1,2)^2 + d(2,4)^2 \)

\( d(1,4)^2 = 60^2 + 45^2 \)

\( d(1,4)^2 = 3600 + 2025 \)

\( d(1,4)^2 = 5625 \)

\( d(1,4) = \sqrt{5625} = 75 \text{ км} \)

Ответ: Расстояние от деревни Николаевка до Станции Путятино по прямой составляет 75 километров.