3. Найдите значение числового выражения \(\sqrt[6]{21-12\sqrt{3}}\cdot\sqrt[6]{21+12\sqrt{3}}\)

Решение:

Используем свойство корней \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) и формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

1. Объединим корни под одним знаком: \[ \sqrt[6]{(21-12\sqrt{3})(21+12\sqrt{3})} \]
2. Применим формулу разности квадратов: \[ \sqrt[6]{21^2 - (12\sqrt{3})^2} \]
3. Вычислим: \( 21^2 = 441 \), \( (12\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432 \).
4. Подставим значения: \[ \sqrt[6]{441 - 432} = \sqrt[6]{9} \]
5. Упростим: \( \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \)

Ответ: \(\sqrt[3]{3}\)