3. Найдите значение выражения (5³)² · 3¹⁶ / 9·225⁷.

Задание 3. Вычисление значения выражения

Дано: выражение \( \frac{(5^3)^2 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \).

Найти: значение выражения.

Решение:

1. Упростим числитель: \( (5^3)^2 = 5^{3 \times 2} = 5^6 \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{5^6 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \).
3. Разложим знаменатель на простые множители. Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
4. Подставим это в знаменатель: \( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 \).
5. Упростим выражение в знаменателе: \( 3^2 \cdot (3^2)^7 \cdot (5^2)^7 = 3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14} \).
6. Сложим степени с основанием 3: \( 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \).
7. Теперь наше выражение имеет вид: \[ \frac{5^6 \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
8. Сократим \( 3^{16} \) в числителе и знаменателе.
9. Получим: \[ \frac{5^6}{5^{14}} \]
10. По правилу степеней ( \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ): \[ 5^{6-14} = 5^{-8} \]
11. Отрицательный показатель степени означает обратную дробь: \[ \frac{1}{5^8} \]
12. Вычислим \( 5^8 \): \( 5^8 = (5^4)^2 = (625)^2 = 390625 \).
13. Таким образом, значение выражения равно \( \frac{1}{390625} \).

Ответ: 1/390625.