3. Найти все первообразные функции $$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$$

Решение:

Чтобы найти все первообразные функции $$F(x)$$ для функции $$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$$, нужно проинтегрировать $$f(x)$$:

\( F(x) = \int (3x^2 - 4x + 1) dx \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и свойство линейности интеграла:

\( F(x) = 3 \int x^2 dx - 4 \int x dx + \int 1 dx \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)

\( F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C \)

Где $$C$$ — произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$$.