3. Неуравновешенные весы. На чаши весов поставили два одинаковых сосуда. В левый насыпали до краёв гальку, а в правый — до краёв песок. Затем в левый сосуд долили до краёв воду, а в правый — керосин. После добавления жидкостей весы пришли в равновесие. В следующем опыте с теми же сосудами жидкости поменяли: в левый сосуд (с галькой) вместо воды налили керосин, а в правый (с песком) вместо керосина налили воду. После этой замены для достижения равновесия на левую чашу весов пришлось добавить груз массой 4 кг. Если теперь из обоих сосудов полностью удалить все жидкости, оставив только гальку в левом и песок в правом, то груз какой массы и на какую чашу весов нужно положить, чтобы весы снова пришли в равновесие? Плотность воды ρв = 1000 кг/м³, плотность керосина ρк = 800 кг/м³, а плотность материала гальки равна плотности материала песка и равна ρ = 2700 кг/м³.

Обозначим через \(V_1\) и \(V_2\) объёмы жидкости, которые помещаются соответственно в сосуде с галькой и в сосуде с песком. Пусть \(G\) и \(S\) — массы гальки и песка.

1. В первом опыте равновесие означает \(G+1000V_1=S+800V_2\).

2. После обмена жидкостями разность массы правой и левой чаши равна 4 кг: \((S+1000V_2)-(G+800V_1)=4\). Складывая это равенство с равенством первого опыта, получаем \(200(V_1+V_2)=4\), поэтому \(V_1+V_2=0.02\) м³.

3. Одинаковые сосуды до краёв заполнены твёрдым материалом и жидкостью, поэтому разность объёмов жидкости связана с разностью масс наполнителей: \(V_1-V_2=-(G-S)/2700\). Из равновесия первого опыта следует \(G-S=100(V_1+V_2)+900(V_1-V_2)\). Подставляя найденную сумму объёмов и связь с разностью масс, получаем \(G-S=2-\frac{G-S}{3}\), откуда \(G-S=1.5\) кг.

Значит, без жидкостей галька тяжелее песка на 1,5 кг. Для равновесия груз нужно положить на чашу с песком.

Ответ: груз массой 1,5 кг на правую чашу весов, с песком.