Я не раз бывал в Москве. — НЕ с наречием «раз», обозначает многократность действия, не является отрицанием. Причина: Усиление утверждения.
Куда бы я ни обращался, мне везде отказывали. — НИ с неопределенным местоимением «куда бы», образует придаточное уступительное предложение. Причина: Значение «где бы ни».
Он не мог не думать об этом. — Двойное отрицание. Первая НЕ с глаголом «мог», вторая НЕ с глаголом «думать». Означает, что он думал. Причина: Двойное отрицание.
Ни шагу назад! — НИ с существительным «шагу» в повелительном предложении, имеет значение «ни единого». Причина: Восклицание, усиление запрета.
Мне некогда сейчас. — «Некогда» — это наречие времени, пишется слитно. Причина: Наречие времени.
Его нигдене нашли. — НИ с наречием «где» (нигде) в значении «никак не», усиливает отрицание, поставленное перед сказуемым. Причина: Усиление отрицания.
Ни книг, ни телефона! Чем мне вообще заниматься? — НИ с существительными «книг», «телефона» в восклицательном предложении, обозначает полное отсутствие чего-либо. Причина: Полное отсутствие чего-либо.
Немало трудностей ему пришлось преодолеть. — «Немало» — это наречие, которое пишется слитно, так как его нельзя заменить синонимом без НЕ. Причина: Наречие, которое можно заменить синонимом «много».