3. Объём куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 72. Найдите объём треугольной пирамиды A₁B₁D₁C.

Обозначим ребро куба через \(a\). Тогда \(a^3=72\).

Треугольник \(A_1B_1D_1\) лежит в верхней грани куба. Его площадь равна половине площади грани: \(S_{A_1B_1D_1}=\frac{a^2}{2}\). Высота пирамиды из точки \(C\) к этой грани равна ребру куба \(a\).

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}=\frac{72}{6}=12\).

Ответ: 12