3. Один конец горизонтально расположенной пружины, сжатой на Δl = 25 мм, закреплен. К другому концу прислонили брусок массой m = 0,20 кг, покоящийся на гладкой горизонтальной поверхности. Чему равна жесткость пружины, если после ее освобождения брусок приобрел скорость, модуль которой v = 1,5 м/с?

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, начальная потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию бруска после ее освобождения.

Начальная потенциальная энергия пружины:

\[ E_p = \frac{kx^2}{2} \]

где \( k \) — жёсткость пружины, а \( x = \Delta l \) — величина сжатия.

Конечная кинетическая энергия бруска:

\[ E_k = \frac{mv^2}{2} \]

где \( m \) — масса бруска, а \( v \) — его скорость.

Приравниваем начальную потенциальную энергию к конечной кинетической (так как поверхность гладкая, трением пренебрегаем, и начальная скорость бруска равна нулю):

\[ \frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ kx^2 = mv^2 \]

Выразим жёсткость пружины \( k \):

\[ k = \frac{mv^2}{x^2} \]

Переведём величину сжатия \( \Delta l \) в метры:

\[ x = 25 \text{ мм} = 0,025 \text{ м} \]

Подставим данные значения:

• Масса бруска \( m = 0,20 \) кг
• Скорость бруска \( v = 1,5 \) м/с
• Сжатие пружины \( x = 0,025 \) м

\[ k = \frac{0,20 \text{ кг} \cdot (1,5 \text{ м/с})^2}{(0,025 \text{ м})^2} = \frac{0,20 \cdot 2,25}{0,000625} = \frac{0,45}{0,000625} = 720 \text{ Н/м} \]

Ответ: 720 Н/м.