3. Один конец горизонтально расположенной пружины жесткостью 450 Н/м, сжатой на 40 мм, закреплен. К другому концу прислонили брусок массой 0,50 кг, покоящийся на гладкой горизонтальной поверхности. Чему будет равен модуль скорости движения бруска, если пружину освободить?

Дано:

• Жесткость пружины: $$k = 450 \text{ Н/м}$$
• Сжатие пружины: $$x = 40 \text{ мм} = 0.04 \text{ м}$$
• Масса бруска: $$m = 0.50 \text{ кг}$$
• Начальная скорость бруска: $$v_0 = 0 \text{ м/с}$$
• Начальная скорость пружины: $$v_{п0} = 0 \text{ м/с}$$

Найти:

• Конечная скорость бруска: $$v$$

Решение:

Будем решать задачу, используя закон сохранения энергии. В начальный момент вся энергия сосредоточена в сжатой пружине (потенциальная энергия упругой деформации). После освобождения пружины эта энергия преобразуется в кинетическую энергию бруска.

Потенциальная энергия упругой деформации пружины вычисляется по формуле:

• $$E_p = \frac{1}{2}kx^2$$

Кинетическая энергия бруска после освобождения пружины:

• $$E_k = \frac{1}{2}mv^2$$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной энергии:

• $$E_{p.начальная} = E_{k.конечная}$$
• $$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$$

Сократим $$\frac{1}{2}$$ с обеих сторон:

• $$kx^2 = mv^2$$

Выразим скорость $$v$$:

• $$v^2 = \frac{kx^2}{m}$$
• $$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}$$

Подставим числовые значения:

• $$v = \sqrt{\frac{450 \text{ Н/м} \times (0.04 \text{ м})^2}{0.50 \text{ кг}}}$$
• $$v = \sqrt{\frac{450 \times 0.0016}{0.50}}$$
• $$v = \sqrt{\frac{0.72}{0.50}}$$
• $$v = \sqrt{1.44}$$
• $$v = 1.2 \text{ м/с}$$

Ответ: 1.2 м/с