5. Два соприкасающихся шарика, массы которых m₁= 0.1 кг и m₂= 0.2 кг, подвешены на вертикальных легких нерастяжимых нитях так, что их центры находятся на одной горизонтали. Расстояние от точки подвеса шарика массой m₁ до его центра L=90см. Нить с шариком массой m₁ отклоняют на угол а=90° и отпускают без начальной скорости. Если удар шариков будет абсолютно неупругим, то сразу после удара Кинетическая энергия шарика массой м₂ равна...

Дано:

• Масса первого шарика: $$m_1 = 0.1 \text{ кг}$$
• Масса второго шарика: $$m_2 = 0.2 \text{ кг}$$
• Длина нити: $$L = 90 \text{ см} = 0.9 \text{ м}$$
• Начальный угол отклонения: $$\alpha = 90^°$$
• Начальная скорость первого шарика: $$v_{1.нач} = 0 \text{ м/с}$$
• Удар: абсолютно неупругий

Найти:

• Кинетическая энергия второго шарика сразу после удара: $$E_{k2.после}$$

Решение:

Задача решается в два этапа: сначала найдем скорость первого шарика перед ударом, затем, используя закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара, найдем скорость системы после удара, и, наконец, рассчитаем кинетическую энергию второго шарика.

Этап 1: Скорость первого шарика перед ударом

Шарик $$m_1$$ отклонен на $$90^°$$ и отпущен. Это означает, что перед ударом он будет находиться в самой нижней точке своей траектории. Применим закон сохранения механической энергии для шарика $$m_1$$ во время его движения от максимальной высоты до нижней точки.

На максимальной высоте (при $$\alpha = 90^°$$):

• Высота подъема шарика над нижней точкой: $$h = L(1 - \cos(\alpha)) = L(1 - \cos(90^°)) = L(1 - 0) = L$$.
• Потенциальная энергия: $$E_{p1.нач} = m_1gh$$.
• Кинетическая энергия: $$E_{k1.нач} = 0$$ (так как шарик отпускают без начальной скорости).

В нижней точке траектории (перед ударом):

• Высота: $$h_{ниж} = 0$$.
• Потенциальная энергия: $$E_{p1.кон} = 0$$.
• Кинетическая энергия: $$E_{k1.кон} = \frac{1}{2}m_1v_{1.до \text{ удара}}^2$$.

По закону сохранения энергии:

• $$E_{p1.нач} + E_{k1.нач} = E_{p1.кон} + E_{k1.кон}$$
• $$m_1gh + 0 = 0 + \frac{1}{2}m_1v_{1.до \text{ удара}}^2$$
• $$m_1gL = \frac{1}{2}m_1v_{1.до \text{ удара}}^2$$

Сокращаем $$m_1$$ и выражаем скорость $$v_{1.до \text{ удара}}$$:

• $$v_{1.до \text{ удара}}^2 = 2gL$$
• $$v_{1.до \text{ удара}} = \sqrt{2gL}$$

Подставим значения ($$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$$):

• $$v_{1.до \text{ удара}} = \sqrt{2 \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times 0.9 \text{ м}} = \sqrt{17.64} = 4.2 \text{ м/с}$$

Этап 2: Абсолютно неупругий удар

При абсолютно неупругом ударе шарики слипаются и движутся как единое целое. Применяем закон сохранения импульса. Импульс системы до удара равен импульсу системы после удара.

До удара:

• Импульс шарика $$m_1$$: $$p_1 = m_1v_{1.до \text{ удара}}$$
• Импульс шарика $$m_2$$: $$p_2 = m_2 \times 0 = 0$$ (так как он покоился)
• Полный импульс до удара: $$P_{до} = p_1 + p_2 = m_1v_{1.до \text{ удара}}$$

После удара (шарики слиплись в одну массу $$M = m_1 + m_2$$):

• Скорость системы после удара: $$V$$
• Полный импульс после удара: $$P_{после} = (m_1 + m_2)V$$

По закону сохранения импульса:

• $$P_{до} = P_{после}$$
• $$m_1v_{1.до \text{ удара}} = (m_1 + m_2)V$$

Выражаем скорость системы после удара $$V$$:

• $$V = \frac{m_1v_{1.до \text{ удара}}}{m_1 + m_2}$$

Подставим значения:

• $$V = \frac{0.1 \text{ кг} \times 4.2 \text{ м/с}}{0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} = \frac{0.42 \text{ кг} \times \text{м/с}}{0.3 \text{ кг}} = 1.4 \text{ м/с}$$

Этап 3: Кинетическая энергия шарика массой $$m_2$$ сразу после удара

После абсолютно неупругого удара оба шарика движутся с общей скоростью $$V$$. Поскольку они движутся как единое целое, кинетическая энергия шарика $$m_2$$ будет являться частью общей кинетической энергии системы. Однако, вопрос стоит именно о кинетической энергии шарика $$m_2$$. Поскольку после удара шарик $$m_2$$ имеет ту же скорость, что и система, его кинетическая энергия:

• $$E_{k2.после} = \frac{1}{2}m_2V^2$$

Подставим значения:

• $$E_{k2.после} = \frac{1}{2} \times 0.2 \text{ кг} \times (1.4 \text{ м/с})^2$$
• $$E_{k2.после} = 0.1 \text{ кг} \times 1.96 \text{ м}^2/\text{с}^2$$
• $$E_{k2.после} = 0.196 \text{ Дж}$$

Ответ: 0.196 Дж