№3 Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если третья сторона равна 21 см.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда большая сторона равна \(x+6\) см. Угол между ними равен \(120^\circ\), а противоположная сторона — 21 см.

По теореме косинусов:

\[21^2=x^2+(x+6)^2-2x(x+6)\cos120^\circ.\]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\[441=x^2+(x+6)^2+x(x+6).\]

Раскроем скобки:

\[441=3x^2+18x+36,\]

\[3x^2+18x-405=0,\]

\[x^2+6x-135=0.\]

Корни уравнения: \(x=9\) и \(x=-15\). Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому \(x=9\) см.

Стороны треугольника: 9 см, 15 см и 21 см.

Периметр:

\[P=9+15+21=45\text{ см}.\]

Ответ: 45 см.