3. Определите промежутки возрастания и убывания функции: \(y=\frac{x^3}{x^2+9}\).

Так как \(x^2+9>0\) при всех \(x\), область определения — \(\mathbb R\).

Найдём производную по правилу дифференцирования частного:

\[y'=\frac{3x^2(x^2+9)-2x^4}{(x^2+9)^2}=\frac{x^4+27x^2}{(x^2+9)^2}=\frac{x^2(x^2+27)}{(x^2+9)^2}.\]

Производная неотрицательна при всех \(x\), причём положительна при \(x\ne0\). Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на \((-\infty;+\infty)\). Промежутков убывания нет.