3. Определите промежутки возрастания и убывания функции \(y=\frac{(x-5)(10-x)}{x}\).

Область определения: \(x\ne0\).

Раскроем скобки: \[y=\frac{-x^2+15x-50}{x}=-x+15-\frac{50}{x}.\]

Производная: \[y'=-1+\frac{50}{x^2}=\frac{50-x^2}{x^2}.\]

Критические точки: \(50-x^2=0\), откуда \(x=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt2\).

Знак производной:

• \(y'<0\) при \(x\in(-\infty;-5\sqrt2)\) и \(x\in(5\sqrt2;+\infty)\);
• \(y'>0\) при \(x\in(-5\sqrt2;0)\) и \(x\in(0;5\sqrt2)\).

Ответ: функция возрастает на \((-5\sqrt2;0)\) и \((0;5\sqrt2)\); убывает на \((-\infty;-5\sqrt2)\) и \((5\sqrt2;+\infty)\).