3. Определите радиус описанной около треугольника окружности и площадь треугольника со сторонами 13 см, 10 см и 7 см. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является этот треугольник.

Полупериметр: \(p=\frac{13+10+7}{2}=15\) см.

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{15(15-13)(15-10)(15-7)}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}\) см².

Радиус описанной окружности: \(R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot10\cdot7}{4\cdot20\sqrt{3}}=\frac{91\sqrt{3}}{24}\) см.

Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: \(13^2=169\), а \(10^2+7^2=149\). Поскольку \(169>149\), треугольник тупоугольный.

Ответ: \(R=\frac{91\sqrt{3}}{24}\) см; \(S=20\sqrt{3}\) см²; треугольник тупоугольный.