3. Определите углы ∠A, ∠B, ∠C?

Решение:

Дан вписанный угол \( \angle ABC = 81^{\circ} \). Этот угол опирается на дугу AC.

Величина дуги AC = \( 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 81^{\circ} = 162^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOC \) равен величине дуги, на которую он опирается, то есть \( \angle AOC = 162^{\circ} \).

Угол \( \angle AOC \) — это развёрнутый угол, если A, O, B лежат на диаметре. Однако, по рисунку, AB является диаметром. Тогда \( \angle AOC \) — это центральный угол, опирающийся на дугу AC.

Угол \( \angle ABC \) является вписанным. Если AB — диаметр, то \( \angle ACB = 90^{\circ} \). В данном рисунке \( \angle ACB \) не равно 90°. Значит, AB не является диаметром.

Предположим, что \( \angle AOC \) = 144° (из первого рисунка, если это последовательные задания). Тогда дуга AC = 144°.

Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 144^{\circ} = 72^{\circ} \).

Дано \( \angle ABC = 81^{\circ} \), что противоречит предположению.

Вернемся к рисунку 3:

\( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу AC. \( \angle ABC \) — вписанный, опирается на ту же дугу AC. Значит, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).

Если \( \angle AOC \) = 81°, тогда \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 81^{\circ} = 40.5^{\circ} \).

Если \( \angle ABC = 81^{\circ} \) (как указано рядом с точкой A), то дуга AC = \( 2 \times 81^{\circ} = 162^{\circ} \). Тогда центральный \( \angle AOC = 162^{\circ} \). Но на рисунке обозначен \( \angle CAB = 81^{\circ} \).

Если \( \angle CAB = 81^{\circ} \), то дуга BC = \( 2 \times 81^{\circ} = 162^{\circ} \). Тогда \( \angle AOC = 162^{\circ} \).

Если AB — диаметр, то \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Исходя из подписи \( 81^{\circ} \) у угла, обозначенного как \( \angle CAB \), найдем остальные углы:

\( \angle CAB = 81^{\circ} \). Дуга BC = \( 2 \cdot \angle CAB = 2 \cdot 81^{\circ} = 162^{\circ} \).

\( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Сумма углов треугольника A, B, C равна 180°.

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle CAB = 81^{\circ} \).

Если AB — диаметр (по рисунку похоже), то \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 81^{\circ} = 9^{\circ} \).

Проверим: если \( \angle ABC = 9^{\circ} \), то дуга AC = \( 2 \times 9^{\circ} = 18^{\circ} \). Центральный \( \angle AOC = 18^{\circ} \). Это не соответствует рисунку.

Предположим, что \( 81^{\circ} \) — это дуга BC.

Если дуга BC = 81°, то \( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 81^{\circ} = 40.5^{\circ} \).

Если AB — диаметр, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40.5^{\circ} = 49.5^{\circ} \).

Если \( 81^{\circ} \) — это дуга AC.

Тогда \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 81^{\circ} = 40.5^{\circ} \).

Если AB — диаметр, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Тогда \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40.5^{\circ} = 49.5^{\circ} \).

На рисунке надпись \( 81^{\circ} \) находится у угла, образованного хордой AC и касательной, проведенной к окружности в точке A. Если это так, то \( \angle CAB = 81^{\circ} \) (внешний угол). Тогда дуга AC = \( 2 \times 81^{\circ} = 162^{\circ} \).

Если AB — диаметр, то \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Дуга AC = 162°. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC, но не на ту же. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC, которая равна \( 180^{\circ} - 162^{\circ} = 18^{\circ} \) (если AC — меньшая дуга).

Сумма углов треугольника ABC равна 180°. \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ (полуокружность)} - \frac{1}{2} \text{ (дуга AC)} \)

Рассмотрим случай, когда AB — диаметр. \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

По надписи \( 81^{\circ} \) у угла \( \angle BAC \) (или \( \angle CAB \) ):

\( \angle BAC = 81^{\circ} \).

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 81^{\circ} = 9^{\circ} \).

\( \angle C = 90^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 81^{\circ}, \angle B = 9^{\circ}, \angle C = 90^{\circ} \).