3. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 12 м и 10 м, все боковые ребра равны 13 м. Найдите объем пирамиды.

Дано:

• Пирамида.
• Основание: прямоугольник со сторонами $$a = 12$$ м, $$b = 10$$ м.
• Боковые ребра: $$l = 13$$ м.

Найти: Объем пирамиды ($$V$$).

Решение:

1. Площадь основания: Площадь прямоугольника находится по формуле $$S_{осн} = a \cdot b$$.
2. Вычисление площади основания: $$S_{осн} = 12 \text{ м} \cdot 10 \text{ м} = 120$$ м$$^2$$.
3. Диагональ основания: В прямоугольном основании диагонали равны. Найдем диагональ по теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + b^2$$.
4. Вычисление диагонали: $$d^2 = (12 \text{ м})^2 + (10 \text{ м})^2 = 144 + 100 = 244$$. $$d = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$$ м.
5. Радиус описанной окружности около основания: В прямоугольнике диагональ является диаметром описанной окружности. Радиус равен половине диагонали: $$R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}$$ м.
6. Высота пирамиды: В пирамиде, где все боковые ребра равны, вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота ($$h$$), боковое ребро ($$l$$) и радиус описанной окружности ($$R$$) образуют прямоугольный треугольник: $$l^2 = h^2 + R^2$$.
7. Вычисление высоты: $$h^2 = l^2 - R^2 = (13 \text{ м})^2 - (\sqrt{61} \text{ м})^2 = 169 - 61 = 108$$. $$h = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$ м.
8. Объем пирамиды: Объем пирамиды находится по формуле $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$.
9. Вычисление объема: $$V = \frac{1}{3} \cdot 120 \text{ м}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ м} = 40 \cdot 6\sqrt{3} \text{ м}^3 = 240\sqrt{3}$$ м$$^3$$.

Ответ: $$240\sqrt{3}$$ м$$^3$$.