3. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 – прямоугольный треугольник, катеты ВС и АС которого равны 42. Плоскость АВС1 наклонена к плоскости основания под углом 302. Найдите площадь сечения.

Решение:

1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник ABC, где BC = AC = 4. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный прямоугольный.

2. Плоскость ABC1 наклонена к плоскости основания под углом 30°. Плоскость основания - это плоскость треугольника ABC. Плоскость ABC1 содержит ребро AC и вершину B1. Угол наклона плоскости ABC1 к плоскости ABC равен 30°.

3. Нам нужно найти площадь сечения, образованного плоскостью ABC1.

4. Найдем длину гипотенузы AB:

\[ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

5. Площадь основания треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} · BC · AC = \frac{1}{2} · 4 · 4 = 8 \]

6. Высота призмы (AA1, BB1, CC1) перпендикулярна плоскости основания.

7. Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью ABC1 равен 30°. Чтобы найти этот угол, нужно провести перпендикуляры к линии пересечения плоскостей (AC) в обеих плоскостях. В плоскости основания ABC, проведем перпендикуляр к AC. Так как треугольник ABC равнобедренный прямоугольный, медиана, высота и биссектриса, проведенные к гипотенузе, совпадают. Но мы проведем перпендикуляр из B на AC. Из вершины B, проведем высоту BH к гипотенузе AC. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. Однако, BC и AC - катеты, а AB - гипотенуза. Если BC=AC, то угол C = 90°.

Если BC и AC - катеты, то угол C = 90°. Тогда AB - гипотенуза.

В основании ABC: BC = 4, AC = 4, ∠C = 90°.

AB = \( \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \).

Площадь основания S_{ABC} = \( \frac{1}{2} · 4 · 4 = 8 \).

Плоскость ABC1 наклонена к плоскости основания ABC под углом 30°.

Линия пересечения плоскостей - AC.

В плоскости основания, из B проведем перпендикуляр к AC. Так как AC перпендикулярен BC, и BC = 4, AC = 4, то B находится на расстоянии 4 от AC.

Высота призмы h = BB1.

Рассмотрим треугольник BB1C, где BB1 перпендикулярно плоскости основания. Угол между плоскостью ABC1 и плоскостью ABC равен 30°. Этот угол - угол между отрезками, перпендикулярными линии пересечения AC, в каждой из плоскостей. В плоскости основания ABC, проведем отрезок BD, перпендикулярный AC, где D на AC. В плоскости ABC1, проведем отрезок B1D', перпендикулярный AC, где D' на AC.

Если рассмотреть сечение призмы плоскостью, проходящей через B и перпендикулярной AC, и плоскостью, проходящей через B1 и перпендикулярной AC, то угол между этими плоскостями будет 30°.

Так как AC перпендикулярно BC, то BC перпендикулярен плоскости, которой принадлежит AC и B1. Это не так.

Рассмотрим угол между плоскостью ABC1 и плоскостью ABC. Это угол между отрезками, перпендикулярными линии пересечения AC. В плоскости ABC, проведем из B высоту BH к AC. В треугольнике ABC, BH = \( \frac{AC · BC}{AB} = \frac{4 · 4}{4\sqrt{2}} = \frac{16}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \).

В плоскости ABC1, проведем из B1 высоту B1H' к AC. Угол между BH и B1H' равен 30°.

Высота призмы h = BB1.

Рассмотрим треугольник BB1H, где угол B1HB = 90°.

Угол между плоскостью ABC1 и плоскостью ABC равен 30°. Это угол между BH и B1H, если BH и B1H перпендикулярны AC. BH перпендикулярно AC. B1H перпендикулярно AC.

Угол между BH и B1H равен 30°.

В прямоугольном треугольнике BB1H (угол H = 90°):

\[ BH = 2\sqrt{2} \]

\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{BB1}{BH} \]

\[ BB1 = BH · \tan(30^{\circ}) = 2\sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \]

Высота призмы h = \( \frac{2\sqrt{6}}{3} \).

Площадь сечения ABC1. Сечение - это треугольник ABC1.

Основание треугольника ABC1 - AC = 4.

Высота треугольника ABC1, проведенная из B1 к AC, равна B1H'.

В прямоугольном треугольнике BB1H, угол между BH и B1H равен 30°.

Плоскость ABC1 наклонена к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что высота, опущенная из B1 на плоскость ABC, образует угол 30° с плоскостью ABC. Пусть эта высота падает в точку D. Тогда в прямоугольном треугольнике BB1D, угол B1DB = 30°.

AC - линия пересечения плоскостей.

В плоскости ABC, проведем BH перпендикулярно AC. BH = \( 2\sqrt{2} \).

В плоскости ABC1, проведем B1H' перпендикулярно AC. Угол между BH и B1H' равен 30°.

Высота призмы h = BB1.

Рассмотрим треугольник BB1H. Угол H = 90°.

\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{BB1}{BH} \]

\[ BB1 = BH · \tan(30^{\circ}) = 2\sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \]

Теперь рассмотрим треугольник ABC1. Его основание AC = 4. Нам нужна высота, проведенная из B1 к AC. Эта высота совпадает с B1H'.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB1H. Угол между BH и B1H равен 30°.

\[ B1H' = BH · \cos(30^{\circ}) = 2\sqrt{2} · \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \]

Площадь сечения ABC1:

\[ S_{ABC1} = \frac{1}{2} · AC · B1H' = \frac{1}{2} · 4 · \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \]

Ответ: 2√6.