3. Отрезок AB не имеет общих точек с плоскостью α. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее в точках A₁ и B₁. Вычислите длину отрезка A₁B₁, если AB=5 см, AA₁=4 см и BB₁=8 см.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться теоремой о проекции отрезка на плоскость. Заметим, что A₁A, B₁B перпендикулярны плоскости α, значит A₁A || B₁B. Проведем через A прямую параллельную A₁B₁, пусть она пересекает B₁B в точке C. Тогда A₁B₁ = AC и треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом при C. AC - искомый отрезок. Длина отрезка BC будет равна |BB₁ - AA₁| = |8 - 4| = 4 см. Длина отрезка AB = 5 см (дано). Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ABC: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(5^2 = AC^2 + 4^2\) \(25 = AC^2 + 16\) \(AC^2 = 25 - 16 = 9\) \(AC = \sqrt{9} = 3\) см. Значит длина A₁B₁ равна 3 см.