3. Отрезок АВ разделили точкой С(4;-3) в отношении 3:4 считая от точки А. Найти координаты точки А, если В(8;-6). [4]

Задание 3. Деление отрезка в заданном отношении

Дано:

• Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:4 (от точки А).
• Координаты точки С: \( (4; -3) \)
• Координаты точки В: \( (8; -6) \)

Найти: координаты точки А.

Решение:

Пусть координаты точки А будут \( (x_A; y_A) \). Точка С делит отрезок АВ в отношении \( m:n = 3:4 \). Формула для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:

\[ x_C = \frac{nx_A + mx_B}{m+n} \]

\[ y_C = \frac{ny_A + my_B}{m+n} \]

Подставим известные значения:

Для координаты x:

\[ 4 = \frac{4x_A + 3(8)}{3+4} \]

\[ 4 = \frac{4x_A + 24}{7} \]

\[ 4 \cdot 7 = 4x_A + 24 \]

\[ 28 = 4x_A + 24 \]

\[ 28 - 24 = 4x_A \]

\[ 4 = 4x_A \]

\[ x_A = 1 \]

Для координаты y:

\[ -3 = \frac{4y_A + 3(-6)}{3+4} \]

\[ -3 = \frac{4y_A - 18}{7} \]

\[ -3 \cdot 7 = 4y_A - 18 \]

\[ -21 = 4y_A - 18 \]

\[ -21 + 18 = 4y_A \]

\[ -3 = 4y_A \]

\[ y_A = -\frac{3}{4} \]

Ответ: Координаты точки А: \( (1; -\frac{3}{4}) \).