3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D — прямой b. Доказать: АВ = CD.

Дано:

• Прямые \(a \parallel b\).
• Секущие \(AB\) и \(CD\).
• \[ A \in a, C \in a \]
• \[ B \in b, D \in b \]

Доказать:

• \[ AB = CD \]

Решение:

1. Рассмотрим фигуры, образованные параллельными прямыми и секущими.
• Так как \(a —— b\), и секущие \(AB\) и \(CD\) пересекают их, то между параллельными прямыми образуется параллелограмм (или его частный случай).
• Точки \(A\) и \(C\) лежат на прямой \(a\), а \(B\) и \(D\) — на прямой \(b\).
• По условию, \(AB\) и \(CD\) — секущие.
• Рассмотрим четырехугольник ABCD.
• \[ AC \parallel BD \] (так как обе лежат на параллельных прямых \(a\) и \(b\)).
• \[ AB \parallel CD \] (по условию, AB и CD — секущие, и поскольку они пересекают параллельные прямые a и b, они образуют стороны четырехугольника).
• Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма:
• В параллелограмме противоположные стороны равны.
• Следовательно, \(AB = CD\) и \(AC = BD\).
3. Вывод:
• Поскольку ABCD является параллелограммом, его противоположные стороны равны.

Ответ: AB = CD.