№ 3. Периметр ∆ АВС = 48, АВ = АС, внешний угол при угле С равен 158°, одна из сторон равна 14. Найдите длины всех сторон и градусные меры всех углов Д АВС.

Краткая запись:

• Периметр \( P = 48 \)
• \( AB = AC \)
• Внешний угол при C = 158°
• Одна из сторон = 14
• Найти: длины всех сторон и градусные меры всех углов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем внутренний угол при вершине C. Сумма внешнего и внутреннего углов, прилежащих к одной вершине, равна 180°.
   \( ∠C + 158° = 180° \)
   \( ∠C = 180° - 158° \)
   \( ∠C = 22° \)
2. Шаг 2: Так как \( AB = AC \), треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны:
   \( ∠B = ∠C = 22° \)
3. Шаг 3: Найдем угол A. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \( ∠A + ∠B + ∠C = 180° \)
   \( ∠A + 22° + 22° = 180° \)
   \( ∠A + 44° = 180° \)
   \( ∠A = 180° - 44° \)
   \( ∠A = 136° \)
4. Шаг 4: Теперь определим длины сторон. Периметр равен 48. Нам дано, что одна из сторон равна 14. В равнобедренном треугольнике могут быть равны либо боковые стороны, либо основание.
5. Вариант 1: Боковые стороны AB и AC равны 14.
   Периметр = \( AB + AC + BC = 48 \)
   \( 14 + 14 + BC = 48 \)
   \( 28 + BC = 48 \)
   \( BC = 48 - 28 = 20 \).
   В этом случае стороны равны 14, 14, 20. Проверим, соответствует ли это углам. Углы при основании \( ∠B = ∠C = 22° \). Противоположная стороне BC сторона AB (или AC) должна быть меньше. Это возможно, так как 14 < 20.
6. Вариант 2: Основание BC равно 14.
   Периметр = \( AB + AC + BC = 48 \)
   Так как \( AB = AC \), обозначим их как 'a'.
   \( a + a + 14 = 48 \)
   \( 2a = 48 - 14 \)
   \( 2a = 34 \)
   \( a = 17 \).
   В этом случае стороны равны 17, 17, 14. Углы при основании \( ∠B = ∠C = 22° \). Противоположная стороне BC (14) сторона AB (или AC) должна быть больше. Это соответствует: 17 > 14.
7. Шаг 5: Сравним углы и стороны. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. У нас угол A = 136°, а углы B и C = 22°. Значит, сторона BC должна быть самой большой.
8. Шаг 6: В Варианте 1: стороны 14, 14, 20. BC = 20. Угол A = 136° против стороны BC. Это соответствует.
9. Шаг 7: В Варианте 2: стороны 17, 17, 14. BC = 14. Угол A = 136° против стороны BC. Это противоречит тому, что BC должна быть самой большой стороной.
10. Шаг 8: Поэтому, правильный вариант — Вариант 1.

Ответ: Длины сторон: AB = 14, AC = 14, BC = 20. Углы: ∠A = 136°, ∠B = 22°, ∠C = 22°.