3. Перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 36 см. Найдите углы и меньшую диагональ ромба.

1. Найдём сторону ромба: \(36 : 4 = 9\) см.

2. Основание перпендикуляра — середина противоположной стороны. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см и катетом \(9 : 2 = 4.5\) см. Для острого угла ромба \(\cos\alpha = 4.5 : 9 = 1/2\), значит, \(\alpha = 60°\). Второй угол равен \(180° - 60° = 120°\).

3. Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей вместе с половиной стороны образуют прямоугольный треугольник: гипотенуза 9 см, один катет 4.5 см. Половина меньшей диагонали равна \(\sqrt{9^2 - 4.5^2} = 4.5\sqrt{3}\) см. Поэтому меньшая диагональ равна \(9\sqrt{3}\) см? Проверим: при углах 60° и 120° меньшая диагональ равна стороне ромба — 9 см. В прямоугольном треугольнике катет 4.5 см является половиной меньшей диагонали, а второй катет \(\sqrt{9^2-4.5^2}=4.5\sqrt3\) — половиной большей.

Ответ: углы 60° и 120°; меньшая диагональ 9 см.