3. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их объёмов.

Решение:

1. Обозначим радиусы шаров как \( r_1 \) и \( r_2 \).
2. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \( S = 4\pi r^2 \).
3. По условию, отношение площадей поверхностей двух шаров равно \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9} \).
4. Подставляем формулу площади: \( \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{4}{9} \).
5. Отсюда следует, что отношение радиусов шаров равно \( \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \).
6. Объём шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).
7. Отношение объёмов двух шаров: \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \).
8. Подставляем отношение радиусов: \( \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \).

Ответ: \( 8:27 \).