3. Построить граф из 8 вершин, в котором 4 вершины с нечётной степенью (без петель)

Пошаговое решение:

Для построения такого графа можно использовать следующую конструкцию:

1. Шаг 1: Возьмите 4 вершины с нечётной степенью. Например, степени 1, 1, 1, 1.
2. Шаг 2: Соедините эти 4 вершины попарно так, чтобы каждая вершина имела степень 2 (чётная). Это можно сделать, построив цикл из 4 вершин, где каждая вершина соединена с двумя другими.
3. Шаг 3: Теперь у нас есть 4 вершины с чётной степенью (2). Нам нужно добавить ещё 4 вершины и сделать так, чтобы 4 вершины остались с нечётной степенью.
4. Шаг 4: Альтернативный подход: Начнём с 4 вершин с нечётной степенью. Пусть это будут вершины 1, 2, 3, 4.
5. Шаг 5: Соедините вершину 1 с вершинами 5 и 6.
6. Шаг 6: Соедините вершину 2 с вершинами 5 и 7.
7. Шаг 7: Соедините вершину 3 с вершинами 6 и 8.
8. Шаг 8: Соедините вершину 4 с вершинами 7 и 8.
9. Шаг 9: Теперь у нас есть 4 вершины (1, 2, 3, 4) с нечётной степенью (2).
10. Шаг 10: Добавим оставшиеся 4 вершины (5, 6, 7, 8).
11. Шаг 11: Соединим вершины 5 и 6.
12. Шаг 12: Соединим вершины 7 и 8.
13. Шаг 13: Соединим вершину 5 с 7.
14. Шаг 14: Соединим вершину 6 с 8.
15. Шаг 15: Проверим степени: Вершины 1, 2, 3, 4 имеют степень 2. Вершины 5, 6, 7, 8 имеют степень 3. Таким образом, у нас 4 вершины с нечётной степенью (3) и 4 вершины с чётной степенью (2).

Ответ: Построить граф, где вершины 1, 2, 3, 4 соединены так, чтобы их степень была 2. Затем добавить 4 вершины (5, 6, 7, 8) и соединить их следующим образом: 5 с 7, 6 с 8, 5 с 6, 7 с 8. В результате вершины 1, 2, 3, 4 будут иметь степень 2, а вершины 5, 6, 7, 8 будут иметь степень 3.