3. Постройте, если возможно, треугольник ABC, в котором сторона AB равна 4 см, углы A и B соответственно равны: а) 30° и 80°; б) 45° и 45°; в) 35° и 110°; г) 105° и 100°. Всегда ли задача имеет решение? В каждом из возможных случаев определите вид треугольника.

Треугольник существует, если сумма заданных углов меньше 180°; третий угол равен разности между 180° и этой суммой. В чертежах длина AB показана пропорционально и равна 4 см.

1. а) \(\angle C=180^\circ-30^\circ-80^\circ=70^\circ\). Построение возможно; все углы острые, значит треугольник остроугольный.
2. б) \(\angle C=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ\). Построение возможно; треугольник прямоугольный и равнобедренный (\(\angle A=\angle B\), следовательно, \(AC=BC\)).
3. в) \(\angle C=180^\circ-35^\circ-110^\circ=35^\circ\). Построение возможно; угол B тупой, поэтому треугольник тупоугольный. Кроме того, \(\angle A=\angle C\), следовательно, \(AB=BC\).
4. г) \(105^\circ+100^\circ=205^\circ>180^\circ\). Построение невозможно.

Задача имеет решение не всегда: оно возможно в случаях а), б), в), но невозможно в случае г).

Ответ: а) остроугольный; б) прямоугольный равнобедренный; в) тупоугольный равнобедренный; г) построить нельзя.