3) Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & \text{при }x\geq -2,\\[2pt]\dfrac{2}{x}, & \text{при }x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+2x+1, & \text{при }x\geq -2,\\[2pt]\dfrac{2}{x}, & \text{при…$ Фото задания

3) Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & \text{при }x\geq -2,\\[2pt]\dfrac{2}{x}, & \text{при }x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Accepted Answer

Первая ветвь — парабола $y=(x+1)^2$ при $x\geq-2$; её вершина $(-1,0)$, а точка $(-2,1)$ включена. Вторая ветвь — $y=2/x$ при $x<-2$; она возрастает от предела $0$ (не достигая его) до предела $-1$ (также не достигая его). На этой ветви значения $y$ лежат в интервале $(-1,0)$.

Для $-1<m<0$ горизонтальная прямая пересекает гиперболическую ветвь один раз, а параболическую — дважды: всего три точки. При $m=-1$ есть одна точка на параболе; при $m=0$ — одна точка в вершине. При $0<m<1$ пересечений с параболой два, а при $m=1$ — два (включая точку $(-2,1)$). При $m>1$ пересечений два. Для $m\leq-1$ пересечений нет.

Следовательно, ровно одна общая точка получается при $m=-1$ или $m=0$; ровно две — при $m\geq0$, то есть при $m=0$ или $m>0$, а также при $m=1$ (уже входит в $m>0$). С учётом подсчёта: при $0<m<1$ и при $m\geq1$ общее число равно двум, то есть для всех $m>0$.

Ответ: одну общую точку — при $m=-1$ или $m=0$; две общие точки — при $m>0$.