Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Постройте куб ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1 см. Найдите угол между векторами A₁A и AC; AB и AC; BD и DB₁; DB и AC.Фото задания

Ответ:

Возьмём координаты вершин куба: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A₁(0, 0, 1), B₁(1, 0, 1), C₁(1, 1, 1), D₁(0, 1, 1). Тогда:

ABCDA₁B₁C₁D₁

  1. \(\overrightarrow{A_1A}=(0,0,-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\). Их скалярное произведение равно 0, значит угол равен 90°.

  2. \(\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\). Косинус угла равен \(\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}\), следовательно, угол равен 45°.

  3. \(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)\), \(\overrightarrow{DB_1}=(1,-1,1)\). Скалярное произведение равно −2, длины векторов равны \(\sqrt2\) и \(\sqrt3\). Поэтому \(\cos\varphi=-\frac{2}{\sqrt6}=-\sqrt{\frac23}\), а \(\varphi\approx144.7^\circ\).

  4. \(\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\). Скалярное произведение равно 0, поэтому угол равен 90°.

Ответ: 90°; 45°; примерно 144,7°; 90°.