№3. Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если A(-1;-3),B(3;1), C(0;4),D(3;-2).

Для начала найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки AB и CD.

1. Уравнение прямой AB:

Общий вид уравнения прямой: y = kx + b.

Подставим координаты точек A(-1;-3) и B(3;1):

• Для точки A: -3 = k*(-1) + b
• Для точки B: 1 = k*3 + b

Теперь у нас есть система уравнений:

1) -k + b = -3

2) 3k + b = 1

Вычтем первое уравнение из второго:

(3k + b) - (-k + b) = 1 - (-3)

3k + b + k - b = 1 + 3

4k = 4

k = 1

Теперь найдем b, подставив k=1 в первое уравнение:

-1 + b = -3

b = -3 + 1

b = -2

Уравнение прямой AB: y = x - 2

2. Уравнение прямой CD:

Подставим координаты точек C(0;4) и D(3;-2):

• Для точки C: 4 = k*(0) + b
• Для точки D: -2 = k*3 + b

Из первого уравнения сразу получаем b = 4.

Теперь подставим b=4 во второе уравнение:

-2 = 3k + 4

3k = -2 - 4

3k = -6

k = -2

Уравнение прямой CD: y = -2x + 4

3. Найдем точку пересечения прямых AB и CD:

Чтобы найти точку пересечения, приравняем уравнения прямых:

x - 2 = -2x + 4

x + 2x = 4 + 2

3x = 6

x = 2

Теперь найдем y, подставив x=2 в любое из уравнений. Возьмем уравнение прямой AB:

y = 2 - 2

y = 0

Точка пересечения отрезков AB и CD имеет координаты (2; 0).

Проверка:

Убедимся, что точка (2;0) лежит на обоих отрезках. Для этого нужно проверить, что x=2 находится между x-координатами концов отрезка, а y=0 — между y-координатами концов.

• Для отрезка AB: x-координаты от -1 до 3. 2 находится между -1 и 3. y-координаты от -3 до 1. 0 находится между -3 и 1. Точка лежит на отрезке AB.
• Для отрезка CD: x-координаты от 0 до 3. 2 находится между 0 и 3. y-координаты от -2 до 4. 0 находится между -2 и 4. Точка лежит на отрезке CD.

Ответ: (2; 0)