3) Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Дано:

• Высота экрана А (h_A) = 80 см
• Расстояние до экрана А (d_A) = 250 см
• Высота экрана В (h_B) = 160 см

Найти: Наименьшее расстояние до экрана В (d_B)

Решение:

Эта задача решается с помощью подобия треугольников. Изображение на экране образуется за счет расходящихся лучей от проектора. Если считать, что проектор излучает свет из одной точки, то мы имеем два подобных прямоугольных треугольника:

• Первый треугольник образован проектором, основанием экрана А и его вершиной.
• Второй треугольник образован проектором, основанием экрана В и его вершиной.

Отношение высоты экрана к расстоянию от проектора до экрана одинаково для обоих случаев, так как угол освещения остается неизменным:

\[ \frac{h_A}{d_A} = \frac{h_B}{d_B} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{80 \text{ см}}{250 \text{ см}} = \frac{160 \text{ см}}{d_B} \]

Выражаем d_B:

\[ d_B = \frac{160 \text{ см} \times 250 \text{ см}}{80 \text{ см}} \]

Упрощаем:

\[ d_B = \frac{160}{80} \times 250 \text{ см} \]

\[ d_B = 2 \times 250 \text{ см} \]

\[ d_B = 500 \text{ см} \]

Ответ: 500 см