3*. Проведены три луча AM, AP, AC таким образом, что ∠MAP = 110°, ∠PAC = 88° и ∠MAC = 22°. Найдите угол между биссектрисами углов MAC и CAP.

Пусть направление луча AM соответствует 0°. Из ∠MAP = 110° следует, что луч AP расположен под углом 110° к AM. Луч AC может находиться по одну из двух сторон от AM, поскольку задано только ∠MAC = 22°.

Если AC расположен внутри ∠MAP, то направление AC — 22°. Тогда биссектриса ∠MAC имеет направление 11°, а биссектриса ∠CAP — середину между направлениями 22° и 110°, то есть 66°. Угол между биссектрисами равен 66° − 11° = 55°.

Если AC расположен по другую сторону от AM, его направление — −22°. Угол CAP тогда равен 132° (между направлениями −22° и 110°), что противоречит условию ∠PAC = 88°. Этот вариант невозможен.

Ответ: 55°.