3. Проверьте, являются ли уравнения равносильными: а) $x^2+3=1$ и $|x|-2=-3$; б) $2x-4=0$ и $3x=6$; в) $3x+12=0$ и $(x+4)(x^2+1)=0$. Объясните почему.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Проверьте, являются ли уравнения равносильными: а) $x^2+3=1$ и $|x|-2=-3$; б) $2x-4=0$ и $3x=6$; в) $3x+12=0$…$ Фото задания

3. Проверьте, являются ли уравнения равносильными: а) $x^2+3=1$ и $|x|-2=-3$; б) $2x-4=0$ и $3x=6$; в) $3x+12=0$ и $(x+4)(x^2+1)=0$. Объясните почему.

Accepted Answer

Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней. Рассматриваем действительные значения $x$.

а) Из $x^2+3=1$ получаем $x^2=-2$, действительных корней нет. Из $|x|-2=-3$ получаем $|x|=-1$, что невозможно. Множества корней одинаковы — пустые. Уравнения равносильны.
б) $2x-4=0\Rightarrow x=2$; $3x=6\Rightarrow x=2$. Корни совпадают, поэтому уравнения равносильны.
в) $3x+12=0\Rightarrow x=-4$. Во втором уравнении произведение равно нулю, если $x+4=0$ или $x^2+1=0$. Первое даёт $x=-4$, а второе не имеет действительных корней. Множества корней совпадают, поэтому уравнения равносильны.

Ответ: все три пары уравнений равносильны.

3. Проверьте, являются ли уравнения равносильными: а) \(x^2+3=1\) и \(|x|-2=-3\); б) \(2x-4=0\) и \(3x=6\); в) \(3x+12=0\) и \((x+4)(x^2+1)=0\). Объясните почему.

Ответ: