3. Провести плоскость, проходящую через точки A(−5; 2; 1), B(0; 1; 2), C(4; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точек M(0; 0; 1), N(1; −1; 2). Пересекает ли плоскость отрезок MN?

Найдём два вектора плоскости: \(\overrightarrow{AB}=(5;-1;1)\), \(\overrightarrow{AC}=(9;-2;0)\). Их векторное произведение — нормальный вектор плоскости: \(\overrightarrow{n}=(2;9;-1)\).

Составим уравнение плоскости через точку A:

\(2(x+5)+9(y-2)-(z-1)=0\), поэтому \(2x+9y-z-7=0\).

Расстояние от точки \((x_0;y_0;z_0)\) до плоскости \(2x+9y-z-7=0\) вычисляется по формуле \(d=\frac{|2x_0+9y_0-z_0-7|}{\sqrt{2^2+9^2+(-1)^2}}\).

Для точки M:

\(d(M)=\frac{|0+0-1-7|}{\sqrt{86}}=\frac{8}{\sqrt{86}}\).

Для точки N:

\(d(N)=\frac{|2-9-2-7|}{\sqrt{86}}=\frac{16}{\sqrt{86}}\).

Проверим пересечение отрезка. Его точки задаются параметрически: \((x;y;z)=(t;-t;1+t)\), где \(0\le t\le1\). Подстановка в уравнение плоскости даёт \(-8t-8=0\), откуда \(t=-1\). Это значение не принадлежит отрезку параметров \([0;1]\), значит плоскость отрезок MN не пересекает.

Ответ: плоскость имеет уравнение \(2x+9y-z-7=0\); расстояния равны \(d(M)=\frac{8}{\sqrt{86}}\), \(d(N)=\frac{16}{\sqrt{86}}\); отрезок MN плоскость не пересекает.