3. Прямая a пересекает плоскость ABC в точке A. На прямой a отметили точки D и E. Могут ли прямые BE и CD пересекаться?

Предположим, что прямые BE и CD пересекаются в точке X.

1. Пересекающиеся прямые BE и CD определяют плоскость γ.
2. Точки B, C, D и E принадлежат плоскости γ.
3. Точки D и E лежат на прямой a, поэтому прямая a также лежит в плоскости γ.
4. Так как прямая a пересекает плоскость ABC в точке A, точка A принадлежит плоскости γ.
5. Таким образом, точки A, B и C принадлежат плоскости γ. Поскольку A, B и C не лежат на одной прямой, плоскость γ совпадает с плоскостью ABC.
6. Тогда точка D принадлежала бы плоскости ABC, что невозможно: прямая a пересекает эту плоскость только в точке A, а D ≠ A.

Получили противоречие.

Ответ: нет, прямые BE и CD пересекаться не могут; они являются скрещивающимися.