3. Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Е и F - середины отрезков АВ и ВС. а) Докажите, что CD и EF - скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

Решение:

а) Доказательство:

1. Прямая EF является средней линией треугольника ABC (так как E и F — середины сторон AB и BC соответственно).
2. По свойству средней линии треугольника, EF параллельна стороне AC.
3. Прямая CD проходит через вершину C.
4. Прямая CD не лежит в плоскости ABC.
5. Прямая EF лежит в плоскости ABC.
6. Так как прямая EF параллельна прямой AC, а прямая AC лежит в плоскости ABC, то прямая EF также лежит в плоскости ABC.
7. Прямые CD и EF не пересекаются, потому что CD не лежит в плоскости EF (так как CD не лежит в плоскости ABC, а EF лежит в ней), и они не параллельны (поскольку CD не параллельна AC, а EF параллельна AC).
8. Следовательно, прямые CD и EF являются скрещивающимися.

б) Нахождение угла между прямыми CD и EF:

1. Угол между скрещивающимися прямыми CD и EF равен углу между прямой EF и прямой, параллельной CD, проходящей через точку на EF, или углу между прямой CD и прямой, параллельной EF, проходящей через точку на CD.
2. Поскольку EF || AC, угол между CD и EF равен углу между CD и AC.
3. Из условия задачи известно, что \( \angle DCA = 60^{\circ} \).
4. Угол между прямыми CD и AC — это угол \( \angle ACD \).
5. Таким образом, искомый угол равен \( \angle ACD \).

Ответ: а) доказано; б) 60°.