4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна высоте и равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Дано: Правильная треугольная пирамида. Сторона основания \( a = 12 \) см, высота \( H = 12 \) см.

Найти: Площадь поверхности \( S_{пов} \).

1. Площадь основания (S_{осн}):

Основанием является правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]\[ S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

2. Апофема (l):

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна апофема — высота боковой грани. В правильной треугольной пирамиде высота основания (апофема основания, \( r \)) равна радиусу вписанной окружности.

\[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{12}{2 \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \]

Апофема \( l \) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \( H \), апофемой основания \( r \) и апофемой боковой грани \( l \):

\[ l^2 = H^2 + r^2 \]\[ l^2 = 12^2 + (2 \sqrt{3})^2 = 144 + (4 \cdot 3) = 144 + 12 = 156 \]\[ l = \sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2 \sqrt{39} \text{ см} \]

3. Площадь боковой поверхности (S_{бок}):

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \]

где \( P \) — периметр основания.

\[ P = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \text{ см} \]\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 2 \sqrt{39} = 36 \sqrt{39} \text{ см}^2 \]

4. Площадь полной поверхности (S_{пов}):

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} \]\[ S_{пов} = 36 \sqrt{3} + 36 \sqrt{39} = 36 (\sqrt{3} + \sqrt{39}) \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна \( 36 (\sqrt{3} + \sqrt{39}) \text{ см}^2 \).