3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 25.

Решение:

По условию, прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, углы BMN и BAC соответственные при параллельных MN и AC и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

\[ \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{AB} = \frac{MN}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BN}{BC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \]

Из условия задачи нам дано, что NC = 25. Мы знаем, что BC = BN + NC. Подставим это в пропорцию:

\[ \frac{BN}{BN + 25} = \frac{2}{7} \]

Решим полученное уравнение:

\( 7 \cdot BN = 2 \cdot (BN + 25) \)

\( 7BN = 2BN + 50 \)

\( 7BN - 2BN = 50 \)

\( 5BN = 50 \)

\( BN = \frac{50}{5} \)

\( BN = 10 \)

Ответ: BN = 10.