4. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Решение:

Рассмотрим треугольники A₁CB₁ и ACB.

1. Угол C является общим для обоих треугольников (∠A₁CB₁ = ∠ACB).

2. По условию, AA₁ и BB₁ — высоты, значит, они перпендикулярны сторонам. Следовательно, ∠CA₁B₁ = 90° и ∠CB₁A₁ = 90°.

3. В треугольнике ACB угол ACB — тупой (∠ACB > 90°). Следовательно, углы ∠CAB и ∠CBA являются острыми.

4. Рассмотрим прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C:

• В треугольнике AA₁C: ∠CA₁A = 90°, ∠ACA₁ = ∠ACB.
• В треугольнике BB₁C: ∠CB₁B = 90°, ∠BCB₁ = ∠ACB.

5. Рассмотрим треугольник A₁CB₁:

• Угол ∠CA₁B₁ = 90°.
• Угол ∠CB₁A₁ = 90°.

6. В треугольнике ACB, так как угол C тупой, то углы A и B острые.

7. Рассмотрим треугольники A₁CB₁ и ACB. У них есть общий угол C. Рассмотрим углы ∠CA₁B₁ и ∠CB₁A₁. Эти углы не равны углам A и B треугольника ACB, потому что треугольник ACB тупоугольный.

8. Для подобия треугольников A₁CB₁ и ACB нам нужно доказать равенство двух углов. У нас есть общий угол C. Нам нужно показать, что ∠CA₁B₁ = ∠CAB или ∠CB₁A₁ = ∠CBA.

9. Рассмотрим прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C. В них:

• ∠AA₁C = ∠BB₁C = 90° (по определению высоты).
• ∠ACB — общий.

Следовательно, треугольники AA₁C и BB₁C подобны по двум углам (первому признаку подобия).

Из подобия AA₁C ~ BB₁C следует:

\[ \frac{CA_1}{CB_1} = \frac{CB}{CA} = \frac{A_1A}{B_1B} \]

Теперь рассмотрим треугольники A₁CB₁ и ACB. У них есть:

• Общий угол ∠C.
• Пропорциональные стороны, прилежащие к этому углу: \( \frac{CA_1}{CA} = \frac{CB_1}{CB} \) (из подобия AA₁C ~ BB₁C, мы получили \( \frac{CA_1}{CB_1} = \frac{CB}{CA} \), что означает \( \frac{CA_1}{CA} = \frac{CB_1}{CB} \) ).

Таким образом, по первому признаку подобия (два угла равны) или по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны и угол между ними равен), треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Доказано.