3. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Решение:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Используем теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы \( c \):

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

где \( a = 5 \text{ см} \) и \( b = 12 \text{ см} \) — катеты.

\( c^2 = 5^2 + 12^2 \)

\( c^2 = 25 + 144 \)

\( c^2 = 169 \)

\( c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \)

Гипотенуза \( c = 13 \text{ см} \) является диаметром окружности.

Радиус окружности \( R \) равен половине диаметра:

\( R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см} \)

Ответ: 6.5 см.