3. Разложите квадратный трехчлен на множители: a) x² + 13x + 42; б) 3x² - 11x + 6.

4. Решение:

а) x² + 13x + 42

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 + 13x + 42 = 0 \).

Используем теорему Виета: \( x_1 + x_2 = -13 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 42 \).

Подбираем числа: \( -6 \) и \( -7 \).

\( -6 + (-7) = -13 \)

\( (-6) \cdot (-7) = 42 \)

Значит, корни уравнения: \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = -7 \).

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители по формуле \( a(x-x_1)(x-x_2) \). В данном случае \( a=1 \).

\( x^2 + 13x + 42 = (x - (-6))(x - (-7)) = (x+6)(x+7) \)

Ответ: (x+6)(x+7)

б) 3x² - 11x + 6

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, найдём корни соответствующего уравнения \( 3x^2 - 11x + 6 = 0 \).

Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

\( D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)

Найдём корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

\( x_1 = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-(-11) - 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители по формуле \( a(x-x_1)(x-x_2) \). В данном случае \( a=3 \).

\( 3x^2 - 11x + 6 = 3(x - 3)(x - \frac{2}{3}) \)

Ответ: 3(x - 3)(x - 2/3)