3). Решить тригонометрическое уравнение: $$ 2\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \sqrt{2} $$

Решение:

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь решим основное тригонометрическое уравнение. Напомним, что \( \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( y = \frac{\pi}{4}+x \).

Рассмотрим два случая:

1. \( \frac{\pi}{4}+x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) ⇒ \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \frac{\pi}{4}+x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) ⇒ \( x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) ⇒ \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2\pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).