3. Решить уравнение: 1) \(3^{x+1}=27^{x-1}\); 2) \(0,2^{x^2+4x-5}=1\); 3) \(2^{x+3}-2^{x+1}=12\); 4) \(4\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+1=0\).

1) Представим \(27\) как степень тройки:

\(3^{x+1}=(3^3)^{x-1}=3^{3x-3}\).

При равных основаниях приравниваем показатели: \(x+1=3x-3\), откуда \(2x=4\), \(x=2\).

2) Поскольку основание \(0,2\ne1\), степень равна 1 тогда и только тогда, когда показатель равен 0:

\(x^2+4x-5=0\), \((x+5)(x-1)=0\), поэтому \(x=-5\) или \(x=1\).

3) Вынесем общий множитель:

\(2^{x+1}(2^2-1)=12\), то есть \(3\cdot2^{x+1}=12\). Тогда \(2^{x+1}=4=2^2\), значит \(x=1\).

4) Сделаем замену \(t=2^x\), где \(t>0\). Получаем \(4t^2-5t+1=0\), то есть \((4t-1)(t-1)=0\). Следовательно, \(t=\frac14\) или \(t=1\). Возвращаясь к замене: \(2^x=2^{-2}\) или \(2^x=2^0\), значит \(x=-2\) или \(x=0\).

Ответ: 1) \(2\); 2) \(-5, 1\); 3) \(1\); 4) \(-2, 0\).